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Binomialverteilung        

Gegeben sei eine Folge von n Bernoulli Experimenten mit den jeweils möglichen Ausgängen a und b und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p und q, mit p+q=1.

Die Binomialverteilung beantwortet die Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass mit den genannten Daten BIS ZU x Mal das Ereignis a eingetreten ist.

• Wenn nicht die Anzahl Versuche feststeht (n), sondern die Anzahl Erfolge (x), dann siehe Negative Binomialverteilung.

• Wenn nicht nur 2, sondern mehr mögliche Ausgänge a,b,..... möglich sind, dann siehe Multinomialverteilung.

Binomialverteilung

	Beispiel:   =
Zur einfachen Berechnung der Binomialkoeffizienten (z.B.: ) kann das Pascal'sche Dreieck herangezogen werden. Wenn p klein und n gross ist, kann man die Binomialverteilung  mit der Poissonverteilung annähern. Bei sehr grossen Zahlen n verwendet man praktischerweise die Chernoff Ungleichung.

n: Stichprobengrösse

p: Anteil Merkmalsträger in der Grundgesamtheit (0.....1)

F: Verteilungsfunktion  

f: Dichtefunktion 

Praktische Anwendung:

• 5 Mal Ziehen mit Zurücklegen  aus einer Urne mit 60 schwarzen und 40 weissen Kugeln (p = 0,6 und q = 0,4)

  • Verteilungsfunktion:

    Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit P, dass bis zu 2 Schwarze dabei sind?    ---> p=0,6 x=2 und n=5.

    Mit der Excelfunktion BINOMVERT(2;5;0,6;wahr) ergibt sich P=0,317

  • Dichtefunktion:

    Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit P, dass genau 2 Schwarze dabei sind?    ---> p=0,6 x=2 und n=5.

    Mit der Excelfunktion BINOMVERT(2;5;0,6;falsch) ergibt sich P=0,230

Weitere Zahlenbeispiele siehe unter Chernoff Ungleichung.

Zur graphischen Berechnung der Quantile der Binomialverteilung siehe Larson Nomogramm, oder allgemein Nomogramm. 

Graphisches Hilfsmittel zur Bestimmung des Vertrauensbereiches der relativen Häufigkeit P bei Binomialverteilung siehe Clopper-Pearson Nomogramm.

Die Binomialverteilung kann als Grenzfall der Hypergeometrischen Verteilung angesehen werden. 

Die Binomialverteilung gilt für den Fall unendlich grosser Grundgesamtheiten, denn bei unendlich grossen Grundgesamtheiten ändert sich nämlich die relative Zusammensetzung  derselben aufgrund der bereits gezogenen Elemente nicht.

(Deshalb das Zurücklegen der Kugeln in obigem Beispiel)

Siehe auch Poissonverteilung: "Anzahl Fehler pro Einheit" und Kombinatorik.

Für eine Veranschaulichung der Beziehungen 

Hypergeometrische Verteilung - Binomialverteilung - Poissonverteilung - Normalverteilung 

in Excelsiehe hier.

Für eine mathematische Beschreibung der zuvor genannten Beziehungen siehe hier.

Für eine Exceldatei zur graphischen Berechnung von Vertrauensintervallen unter Binomialverteilung siehe hier. 

Zur Herleitung von Mittelwert und Varianz der Binomialverteilung siehe Vertiefung unter Charakteristische Funktion. 

Für eine Auflistung der Wechselbeziehungen einiger wichtiger Verteilungsfunktionen siehe hier.

Für die Bestimmung des "optimalen" Parameters p einer binomialverteilten  Stichprobe siehe Beispiel unter Maximum Likelihood Estimation (MLE). 

Anwendungsbeispiele aus der Zuverlässigkeitstechnik

1. Vertrauensintervalle:

Unter n = 38 geprüften Einheiten wurden k=2 defekte Einheiten gefunden. 

Wie gross ist das einseitige / zweiseitige 90% Vertrauensintervall für den "wahren" (aber unbekannten) Auschussanteil?

= Zwischen welchem maximalen (p_oben)  und minimalen (p_unten) Ausschussanteil bewegt sich der "wahre" Ausschussanteil p mit der Wahrscheinlichkeit (1-a) = 10 % ?

Es gilt (ohne weitere Herleitung) für die jeweils einseitigen Vertrauensbereiche:

		n: Anzahl geprüfter Einheiten k:Anzahl defekter Einheiten a: Wahrscheinlichkeit, mit der der "wahre" Ausschussanteil unterhalb punten (bzw. je nach Fragestellung oberhalb  poben)  liegen soll.

Für den zweiseitigen Vertrauensbereich muss in beiden Formeln lediglich F_(1-a)durch F_(1-a/2) ersetzt werden.  

Der Rest der Formeln sowie die Berechnung der Freiheitsgrade f₁ und f₂ bleiben gleich. 

Für den einseitigen Bereich gilt jeweils nur eine der obigen beiden Formeln, je nachdem, ob man den oberen oder unteren Bereich meint. Für den zweiseitigen Bereich gelten natürlich beide Formeln zusammen.

Die Funktion F(a,f1,f2) kann man mit Excel wie folgt berechnen:

FINV(a;f1;f2)

Ergebnis (einseitig):

p_oben  = 13,4%    [mit  FINV(0,1;6;72)]

p_unten = 1,4%      [mit FINV(0,1;74;4)]

Der Schätzwert liegt bei p = 2/38 = 5,3%

Für hinreichend grosse n und k kann man mit der Normalverteilung annähern und erhält das Vertrauensintervall auf viel einfachere Weise. Näheres dazu hier. 

Anmerkung: 

Obige Formeln sind eine von mehreren Möglichkeiten, die Vertrauensintervalle für die Binomialverteilung zu berechnen. 

Weitere Verfahren, auch Iterative, werden hier beispielhaft gegenübergestellt. 

2.Nochmal Vertrauensintervalle:

Angenommen, es sind n Geräte im Feld. Die konstante Ausfallrate dieser n Geräte sei l, die (konstante) Reparaturdauer

sei R. Es werden ferner k Ersatzgeräte bereitgehalten.

Wie gross ist die Verfügbarkeit eines Ersatzgerätes bei Ausfall eines Gerätes im Feld?

= Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn ein Gerät im Feld ausgefallen ist, wenigstens ein Ersatzgerät bereitsteht (also nicht alle vergriffen sind) ?

Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich zu

	Zahlenbeispiel: n l R k 2000 121,7/1.000.000 h 4 h 2	Hier entspricht l dem l in obiger Formel, und n*R entspricht dem t in obiger Formel. Die Frage ist also, wie wahrscheinlich es ist, dass in n*R Betriebsstunden höchstens 2 Ausfälle auftreten.
	Ergebnis: F(2)=92,5%	Bei jedem Ausfall im Feld steht also mit 92,5% Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Ersatzeinheit bereit.

3. Operationscharakteristik

Siehe hier

30.07.2006

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