Hypergeometrische Verteilung Ziehen mit Zurücklegen

Ersetzt die Binomialverteilung bei nicht-unendlichen Grundgesamtheiten.

Urnenmodell:

Die Binomialverteilung beschreibt "Ziehen mit Zurücklegen". Die Hypergeometrische Verteilung dagegen "Ziehen ohne Zurücklegen".

Beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne wird die Ziehungswahrscheinlichkeit einzelner Kugelsorten in der Urne durch die bereits gezogenen Kugeln verändert, da sich die Zusammensetzung der Grundgesamtheit nach jeder Ziehung ändert.

Anmerkung: ("Binomialkoeffizient") Beispiel:   =

N: Grösse der Grundgesamtheit 

d: Anzahl Merkmalsträger in der Grundgesamtheit

n: Grösse der Stichprobe  

x: Anzahl Merkmalsträger in der Stichprobe

F: Verteilungsfunktion, f: Dichtefunktion

Erwartungswert	Varianz	Schiefe	Wölbung	Modalwert	Median	Bemerkungen
np	,  mit p = d/N

Anschauliche Herleitung der Formel f(x)

Die 3 Binomialkoeffizienten im Ausdruck für f(x) stehen alle für Ziehen ohne Zurücklegen, wobei die Anordnungsreihenfolge egal ist. Siehe hierzu auch Kombinatorik.

Der Nenner in dem obigen Ausdruck für f(x) ist die Anzahl aller denkbaren Möglichkeiten, eine Stichprobe des Umfangs n aus einer endlichen Grundgesamtheit des Umfangs N zu ziehen. Im Zähler steht die Anzahl "günstiger Fälle", das heisst, diejenige Anzahl Fälle, die genau x Merkmalsträger in der Stichprobe haben.

Diese Anzahl günstiger Fälle setzt sich aus dem Produkt zweier Anzahlen zusammen:

• der Anzahl Fälle, x Merkmalsträger aus der Grundgesamtheit auszusuchen,

• der Anzahl Fälle, N-d "Nicht-Merkmalsträger" aus der Grundgesamtheit auszusuchen.

Für eine Veranschaulichung der Beziehungen 

Hypergeometrische Verteilung - Binomialverteilung - Poissonverteilung - Normalverteilung 

in Excel siehe hier.

Für eine mathematische Darstellung der selben Beziehungen siehe hier.

Für eine Auflistung der Wechselbeziehungen einiger wichtiger Verteilungsfunktionen siehe hier.  

Für die Herleitung von Erwartungswert und Varianz der Hypergeometrischen Verteilung siehe hier.