Konfidenzintervall bzw. Vertrauensintervall und Zufallsstreubereich

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Vorbemerkung:
Vertrauensintervall und Zufallsstreubereich meinen zwar etwas Verschiedenes, bedeuten mathematisch jedoch das Selbe.

Das Vertrauensintervall einer Variablen  zur Wahrscheinlichkeit 90%  ist der Bereich, in den ein Wert derVariablen mit 90% Wahrscheinlichkeit fallen wird. Man geht hier von einer Stichprobe aus und schliesst auf die (unbekannte) Grundgesamtheit. Um beim Beispiel 90% zu bleiben: Das 90% Vertrauensintervall enthält nicht zu 90% den wahren Wert der, denn dieser (zwar unbekannte) Wert liegt ja eindeutig fest und kann nicht Ergebnis eine Zufallsstichprobe sein.

Allerdings hat man in 9 von 10 Fällen recht, wenn man sagt "der wahre Wert liegt in diesem Bereich".
Siehe auch weiter unten in dieser Rubrik: Grundsätzliches zu Vertrauensintervallen.

Der Zufallsstreubereich bedeutet das Selbe, allerdings macht er, ausgehend von einer bekannten Grundgesamtheit, Aussagen über eine Stichprobe.
Die in vorigem Abschnitt beschriebene Problematik existiert in diesem Fall nicht.
Der Verfasser ist der Ansicht, dass man zwischen den beiden Begriffen Vertrauensintervall und Zufallsstreubereich nicht zu unterscheiden braucht, solange der Kontext (also Stichprobe oder Grundgesamtheit) ersichtlich ist. Dennoch wird das Stichwort Zufallsstreubereich in einer separaten Kapitel behandelt, da die Formeln geringfügig unterschiedlich aussehen.

Auch Vertrauensbereich oder Konfidenzintervall genannt. 

Aus Stichproben ermittelte Kennzahlen sind grundsätzlich mit Fehlern behaftet, da man davon ausgehen kann, dass diese sich von den wahren Kennzahlen der Grundgesamtheit unterscheiden. Sie streuen um den "wahren" Wert (welchen man meistens nicht kennt). 

Der Vorteil, die Messresultate mit Hilfe von Vertrauensintervallen anzugeben, liegt darin, dass die Verlässlichkeit der Resultate quantifiziert werden kann.

Korrekterweise ist also immer die Kenngrösse mit ihrem entsprechenden Vertrauensintervall zu einer definierten Wahrscheinlichkeit (zb.90%) anzugeben. 

Diese Wahrscheinlichkeit wird auch statistische Sicherheit genannt.

• Beispiel zweiseitiges Vertrauensintervall:  

  der Mittelwert der Stichprobe liegt bei 10. 

  Die 90% Vertrauensgrenzen liegen bei 7 und 12.

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% liegt also der wahre Wert zwischen 7 und 12. 

   

• Beispiel einseitiges Vertrauensintervall:  

  der Mittelwert der Stichprobe liegt bei 10. 

  Die obere 90% Vertrauensgrenze liegt bei  und 14.

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% liegt also der wahre Wert nicht über 14.

Asymptotische (oder approximative) Vertrauensintervalle haben die Eigenschaft, dass sie umso genauer sind, je grösser die Stichprobe ist. 

Dies liegt daran, dass asymptotische Vertrauensintervalle mit Hilfe des Gesetzes der grossen Zahlen, des  zentralen Grenzwertsatzes  oder auf Basis einer bestimmten Verteilungsfunktion hergeleitet werden. 

Beispiele: 

• Vertrauensintervall bei Binomialverteilung  

• Vertrauensintervall bei Poissonverteilung. 

Weitere asymptotische Vertrauensintervalle: 

 

Vertrauensintervall für		Formel
Mittelwert µ, Varianz bekannt	einseitig unten		µ: "wahrer" Mittelwert der Grundgesamtheit,  x1: Stichprobenmittelwert Z1-a: (1-a)-Quantil der Standardnormalverteilung
	einseitig oben
	zweiseitig
Mittelwert µ, Varianz unbekannt	einseitig unten		µ: "wahrer" Mittelwert der Grundgesamtheit,  x1: Stichprobenmittelwert s: Stichprobenstandardabweichung tf,1-a: (1-a)-Quantil der t-Verteilung f: Anzahl Freiheitsgrade
	einseitig oben
	zweiseitig
Varianz s2  (Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, so erhält man die entsprechenden Formeln für die Standardabweichung)	einseitig unten		s: Stichprobenstreuung X21-a : (1-a)-Quantil der Chi Quadrat Verteilung f: Anzahl Freiheitsgrade
	einseitig oben
	zweiseitig
Überschreitungsanteil u	einseitig unten		u1-pu: untere Vertrauensgrenze des Überschreitungsanteils der Grundgesamtheit.  u1-po: obere Vertrauensgrenze des Überschreitungsanteils der Grundgesamtheit.  u1-p Überschreitungsanteil der Stichprobe.  Z1-a: Quantil zur Wahrscheinlichkeit1-a der Standardnormalverteilung
	einseitig oben
	zweiseitig
MTBF			Diese Formel wird hier erklärt.

Verbreitete Methoden für die allgemeine Berechnung von (asymptotischen) Vertrauensintervallen sind: 

• Likelihood Ratio bei der Maximum Likelihood Estimation (asymptotisch)

• Fisher Informationsmatrix = Varianz-Kovarianzmatrix (asymptotisch)

• Beta Binomial. (exakt)

Grundsätzliches zu Vertrauensintervallen

1.

Bei der Ermittlung von Vertrauensintervallen hat man das prinzipielle Problem, dass man die "wahre Welt" nicht kennt, bzw. als einzige Information lediglich die gezogene Stichprobe hat.

Deshalb tut man so, als ob die aus den Stichproben geschätzten Parameter die "wahren" Parameter sind und kehrt das Problem in ein "Zufallsstreubereich-Problem" um.

Für eine beispielhafte Beschreibung zu dieser Problematik siehe die Vertiefung unter Exponentialverteilung.

• Zum generellen Verständnis zur Berechnung von Vertrauensintervallen mag auch folgender Denkansatz dienen:

  Man hat eine Stichprobe gezogen und fragt sich, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist genau die vorliegende Stichprobe zu ziehen, wenn die Ausgangsverteilung so-und-so wäre. Das "so-und-so" wird von Null bis Unendlich durchgespielt und jedes Mal die Wahrscheinlichkeit berechnet, exakt die vorliegende Stichprobe zu ziehen. Man erhält eine Verteilungsdichtefunktion, die man nur noch normieren muss. Aus den Quantilen dieser Verteilungsfunktion lassen sich dann unmittelbar die Vertrauensintervalle berechnen.

  Der zuvor geschilderte Gedankengang entspricht in etwa der Maximum Likelihood Methode.

2. 

Es gibt nicht "DIE" Vertrauensintervalle für ein gegebenes Problem. 

Oft existieren mehrere unterschiedliche  Formeln für ein-und-das-selbe Vertrauensintervall, welche zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. 

Dieser Sachverhalt ist beispielhaft für den Fall der Binomialverteilung in dieser Exceltabelle dargestellt.. 

Für eine Exceldatei zur Berechnung von Vertrauensintervallen unter Binomialverteilung mittels Bayes Analyse, siehe hier.

Für eine näherungsweise, aber anschauliche Berechnung des Vertrauensintervallen unter Binomialverteilung siehe das Blatt "VB 0,1%" dieser Exceldatei. 

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30.06.2006