Problem: Der Korrelationskoeffizient ist 2-seitig begrenzt (-1.....1).
Damit gestalten sich statistische Methoden, wie z.B. die Berechnung des Vertrauensbereiches schwierig, insbesondere dann,
wenn der zu betrachtende Korrelationskoeffizient nahe bei +1 oder -1 liegt.
Die Z-Transformation (Tangenshyperbolicus-Transformation)
bringt den Korrelationskoeffizienten in seinem gesamten Wertebereich (-1.....+1) "annähernd" auf Normalverteilungsform,
das heisst, der Korrelationskoeffizient wird durch die Z-Transformation (Fisher) asymptotisch normalverteilt, sodass normalverteilungsbasierte Testmethoden angewandt werden können.
Anmerkung:
Es geht um Normalverteilungsform des Korrelationskoeffizienten selbst, und nicht der Ausgangsdaten, aus denen der Korrelationskoeffizient berechnet wird.
Erwartungswert und Varianz des Z-transformierten Korrelationskoeffizienten lauten:
| Erwartungswert | Varianz |
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1/(n-3) |
| Den Erwartungswert des Korrelationskoeffizienten in der transformierten Form erhält man natürlich, indem man ihn in obige Formel einsetzt. |
Beispiel: Es wurde mit 100 Messwerten ein Korrelationskoeffizient ρ = 0,35 errechnet.
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Berechnung mittels Fisher-Transformation |
Alternative Berechnung mit der t-verteilten Prüfgrösse |
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Nullhypothese:
ρ = 0 ρ = 0 --> Z-Transformation ergibt 0.
Standardisieren ergibt: Die Excelfunktion STANDNORMVERT(3,594) ergibt 99,984% Die Nullhypothese kann also mit sehr hohem Signifikanzniveau (> 99,98%) verworfen werden.
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= Mit der Excelfunktion 1-TVERT(3.881; 98; 1) erhält man 99.77% |
Anmerkung:
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Testet man nicht gegen ρ = 0, sondern beispielsweise ρ= 0,2, dann gilt: Nullhypothese: ρ = 0,2. ρ = 0,35 --> Z-Transformation ergibt 0,365 ρ = 0,2 --> Z-Transformation ergibt 0,203
Standardisieren ergibt: Die Excelfunktion STANDNORMVERT(1,5955) ergibt 94,47% Die Nullhypothese kann auch hier verworfen werden, wenn man das Signifikanzniveau etwas niederer ansetzt (z.B. 90%) |
 =1.75446
95.876% |
22.11.2006
= 3.594
= 3.881 
=1,5955