Allgemeines Lineares Modell

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Das Allgemeine Lineare Modell ALM, englisch GLM, general linear model, ist ein grundlegendes Modell in der Statistik und für sich genommen noch keine spezielle statistische Methode. Auf diesem Modell bauen mehrere Methoden auf, die unter anderem hier beschrieben sind.

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Allgemeines lineares Modell (ALM, General linear Model, GLM)

Mehrere abhängige Variablen werden durch Linearkombination von gewichteten unabhängigen Variablen beschrieben.

Näheres über das Rechnen mit Matrizen siehe unter multiple lineare Regression.

Zum besseren Verständnis wird das Modell zunächst nur mit einer abhängigen Variablen y beschrieben:

Allgemeines Lineares Modell

y_i: i-te Realisierung der abhängigen Variablen y (i=1...4) ("der i-te Messwert y"),

x_ij: i-te Realisierung der j-ten unabhängigen Variablen x_j (j=1...3),

b_jj-ter unbekannter (zu bestimmender) Modellparameter,

e_i i-ter unbekannter Fehler e.

In diesem Beispiel wurden also 4 Messwerte y_i der (einen!) abhängigen Variablen y generiert.

Bei jeder der 4 Messungen von y_i hatten die 3 unabhängigen Variablen x_j bestimmte Werte x_ij inne (j=1....4).

Gesucht sind nun diejenigen Werte der Modellparameter b_j, die die abhängige Variable y durch die unabhängigen Variablen x_jbei möglichst kleinen Fehlern e_ierklären.

Für mehrere (hier: 2) unabhängige Variablen y gilt z.B.

Allgemeines Lineares Modell

y_ij: i-te Realisierung der j-ten abhängigen Variablen y_j (i=1...5, j= 1..2),

x_ik: i-te Realisierung der k-ten unabhängigen Variablen x_k (k=1...3),

b_jk unbekannte (zu bestimmende) Modellparameter.

e_ij unbekannte Fehler.

In diesem Beispiel wurden also für jede der beiden unabhängigen Variablen y_.1,y_.2jeweils 5 Messwerte generiert.

Bei jeder der 5 Messungen von y_.j hatten die 3 unabhängigen Variablen x_.1,x_.2,x_.3 bestimmte Werte x_ij inne.

Gesucht sind nun diejenigen Werte der Modellparameter b_jk, die die abhängigen Variablen y_.1,y_.2 durch die unabhängigen Variablen x_ikbei möglichst kleinen Fehlern e_ijerklären.

Beispielsweise ist b₁₃ derjenige Modellparameter,

der den Zusammenhang zwischen der abhängigen Variablen y_.1 und der unabhängigen Variablen x_.3 beschreibt.

Voraussetzungen:

Additivität: Die einzelnen gewichteten unabhängigen Variablen addieren sich auf zum Wert der abhängigen Variablen,
Linearität: Der Zusammenhang zwischen jeder unabhängigen Variablen und der abhängigen Variablen ist linear.
Varianzhomogenität: Die Varianz der Fehlerterme e_i ist konstant.

Folgende Tabelle gibt eine Übersicht über statistische Methoden, die auf dem allgemeinen linearen Modell basieren.

		Skalenniveau der abhängigen Variablen
Skalenniveau der unabhängigen Variablen.		metrisch	nicht metrisch
	metrisch	Regressions-analyse	Diskriminanz-analyse
	nicht metrisch	Varianzanalyse	log. lineare Modelle
	gemischt	Kovarianzanalyse

Spezialfall des allgemeinen linearen Modells :

Die Variablen sind nicht direkt beobachtbar (latente Variable).

Dafür geeignete statistische Verfahren sind beispielsweise Faktorenanalyse und Kanonische Analyse.

Für eine ausführlichere Einführung in das allgemeine lineare Modell siehe hier.

19.08.2005

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