Didaktisches Beispiel zur Hinführung:
Das
was gemeinhin (und fälschlicherweise) als "Standardabweichung von x"
bekannt ist, ist eigentlich der Standardfehler der Variablen x.
Es gibt auch z.B. den Standardfehler des
Mittelwertes von x, ja sogar den Standardfehler der
Standardabweichung von x.
Allgemein die Standardabweichung der Stichprobenverteilung des entsprechenden Kennwertes (also nicht nur der Ursprungsdaten x1, x2, x3, usw.).
Kennwerte können z.B. Mittelwert, Korrelationskoeffizient, relative Häufigkeit, Median, die Standardabweichung selbst, usw, sein.
Je nach Kennwert sieht der Standardfehler formelmässig entsprechend anders aus.
Von historisch gewachsenen Unzulänglichkeiten in der statistischen Terminologie einmal abgesehen (siehe Spalte Anmerkungen in unten stehender Tabelle),
hat
der Standardfehler immer folgende Form:
Der
Standardfehler dient unmittelbar zur Berechnung von
Vertrauensintervallen des entsprechenden Kennwertes, sofern der
entsprechende Kennwert als normalverteilt
angenommen werden kann.
Beispiele
Kennwert | zugehöriger Standardfehler | Anmerkungen |
Variable x | , also die Standardabweichung selbst. | Von der
Terminologie des
Standardfehlers her betrachtet müsste die allseits bekannte
"Standardabweichung" der Variablen x aus Konsistenzgründen eigentlich
Standardfehler heissen.
Der Wurzelausdruck ohne den Vorfaktor 1/N müsste demnach - ebenfalls aus Konsistenzgründen- konsequenterweise eigentlich Standardabweichung heissen. |
arithmetischer
Mittelwert
(unendlich grosse Grundgesamtheit) |
Der
arithmetische Mittelwert aus hinreichend vielen Stichproben ist
normalverteilt mit dem links stehenden Standardfehler.
N ist die Grösse der endlichen Grundgesamtheit, n die Gösse der Stichprobe. |
|
arithmetischer
Mittelwert
(endlich grosse Grundgesamtheit) |
||
Anteilswert Q | Der
Anteilswert aus
hinreichend vielen Stichproben ist normalverteilt mit dem links
stehenden Standardfehler.
Q ist derjenige Anteil, mit dem das Merkmal auftritt. Die Formel ist eine Näherung für die Binomialverteilung, die für n*Q*(1- Q) >9 gültig ist. |
|
Korrelationskoeffizient | Der Korrelationskoeffizient aus hinreichend vielen Stichproben ist normalverteilt mit dem links stehenden Standardfehler. | |
Median | ||
Standardabweichung | "Standardfehler der Standardabweichung" |
Siehe auch Kleinste Quadrate Methode.