Spearmanscher Rangkorrelationskoeffizient Rho
Ein direkter Abkömmling des Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten (wird hier gezeigt),der auf ordinalem Skalenniveau zum Einsatz kommen kann.
Der Spearman'sche Rangkorrelationskoeffizient unterstellt allerdings (gerade wegen der Eigenschaft, Abkömmling des Produkt-Moment Korrelationskoeffizienten zu sein) Äquidistanz zwischen den Rangnummern, was ja eigentlich keine Eigenschaft von Rangreihen ist.
(Bei der Anwendung muss dies bedacht werden).
Wertebereich (-1.....+1).
Spearmans r ist einfacher und bekannter als Kendalls Tau, jedoch weit weniger mächtig.
Bei (selbst einzelnen) Ausreissern reagiert Spearmans r sehr empfindlich.
In solchen Fällen sollte Kendalls Tau herangezogen werden.
Herleitung des Rangkorrelationskoeffizienten aus dem Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten. |
N: Anzahl Werte der beiden gleich langen Messreihen,
di: Differenz korrespondierender Werte des Paares i.
Bei Rangbindungen ( Ties) siehe die Anmerkungen am Ende dieser Rubrik.
Unter der Nullhypothese ist r um 0 asymptotisch normalverteilt (genauer: t-verteilt).
Signifikanz kann nach folgenden beiden Formeln getestet werden:
Wendet man auf das t der linken Formel die Excelfunktion [1-TVERT(ABS(t) ; n-2 ; 1)] an, so erhält man das einseitige Signifikanzniveau von r.
[1-TVERT(ABS(t) ; n-2 ; 2)] liefert entsprechend das zweiseitige Signifikanzniveau von rho.
Entsprechend liefert die Excelfunktion STANDNORMVERT(ABS(u)) bei der rechten Formel auf das u angewandt das einseitige Signifikanzniveau von r
Einseitig bedeutet hier jeweils, dass die Nullhypothesenformulierung lautet:
"r > 0 (oder < 0)" --> gerichtete Hypothese
Zweiseitige Formulierung würde lauten:
"r ist von Null verschieden" --> ungerichtete Hypothese
Beispiel:
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Y | 2 | 1 | 3 | 2 | 2 | 4 | 8 |
1 | 1 | 0 | 4 | 9 | 4 | 1 |
=0.74
Signifikanzprüfung (einseitig):
Nach obigen Formeln ergibt sich
t = 2,46 ---> 1-TVERT(2,46 ; 7-2 ; 1) = 97,1%
u = 1,81 ---> STANDNORMVERT(1,81) = 96,5%
In Tabellen für die Schwellenwerte von Spearmans r findet man für die einseitige 95% Schwellen ein kritisches r von 0,714 für n=7.
Rechnet man für r = 0,714, n=7 mit den obigen Excelfunktionen, so erhält man 96% bzw. 96,4%.
Beide Formeln rechnen also liberal.
Für Berechnungen sowie Tabellen für exakte Schwellenwerte für r bis n=30 siehe folgende Exceltabelle.
Für eine Gegenüberstellung Pearson'scher Korrelationskoeffizient - Spearman'scher Rangkorrelationskoeffizient - Kontingenzkoeffizient F siehe diese Exceldatei.
Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient kommt auch bei Trendanalysen von Messreihen zum Einsatz.
Siehe dazu Rangkorrelationstest.
Siehe auch Korrelationskoeffizient.
Siehe auch Tabelle Korrelationskoeffizienten
Anmerkungen
Liegen nennenswert viele Rangbindungen vor (>20% aller Werte), dann bekommt die ursprüngliche Formel für Spearman's Rho
folgende Gestalt:
i durchläuft alle Rangbindungsgruppen der beiden Variablen x und y. tx,i und ty,j sind die Anzahl Werte in der i-ten bzw. j-ten Rangbindungsgruppe.
Signifikanzberechnungen bleiben davon unberührt. |
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