Post Hoc Tests nach ANOVA Kruskal Wallis Friedman

Post Hoc Tests
Einzeltests nach einem Omnibustest

Post Hoc Tests sind spezielle statistische Tests, die genau dann zum Einsatz kommen, wenn ein vorhergehender allgemeiner Test, Omnibustest, signifikant ausgefallen ist.
Bekannte Post Hoc Tests sind z.B. Scheffe, Tukey HSD, Duncan, Newman-Keuls, Fisher LSD, Nemenyi.

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Post Hoc Test

Allgemeine Sammelbezeichnung für Tests, nachdem allgemeine Tests ("Omnibustests") über mehrere Gruppen (z.B. ANOVA, Friedman Test, Kruskal Wallis Test) Signifikanz ergeben haben.

Im Gegensatz zu Post Hoc Tests stehen die A Priori Vergleiche bzw. Kontraste).

Post Hoc Tests werden auch ungeplante Tests genannt.

Post-hoc-Tests werden verwendet, wenn vor einem allgemeinen Test keine Hypothesen formuliert wurden.

Dies ist bei Datenexplorationen auf neuen Gebieten eigentlich immer der Fall.

Post hoc Tests dürfen nur durchgeführt werden, wenn der vorangehende allgemeine Test Signifikanz erbracht hat, denn der allgemeine Test beleuchtet alle Gruppen auf einmal und hat somit eine grössere (Gesamt-)Aussagekraft.

Die zum Teil schärferen (grössere Power) paarweisen Tests (z. B. t-Test, Mann-Whitney Test) können post hoc durchaus Signifikanz aufzeigen obwohl der vorangehende allgemeine Test dies nicht tat. Siehe dazu Alpha Inflation.

Es ist jedoch nicht erlaubt, bei verfehlter Signifikanz des allgemeiner Tests mittels Anwendung paarweiser Tests letztlich doch noch Signifikanz herbeizuführen, da das aussagekräftigere Ergebnis des allgemeinen Tests durch ein weniger aussagekräftiges Ergebnis des paarweisen Tests ersetzt würde. Der paarweise Test ignoriert nämlich das Vorhandensein weiterer Gruppen.

Weil also bei signifikanten allgemeinen Tests die klassischen paarweisen Tests ohnehin Signifikanz ergeben würden, wurden die Post Hoc Tests entwickelt. Diese berücksichtigen nicht nur isoliert paarweise 2 Gruppen, sondern betrachten die Gruppen in ihrem Gesamtgefüge indem sie spezielle Teststatistiken verwenden, die für multiple Vergleiche geeignet sind.

In folgender Tabelle sind einige wichtige Post Hoc Tests beschrieben.

Post Hoc Test	Beschreibung
*Fisher LSD* (least significant difference)	Nach ANOVA Paarweise Tests Nur bei gleichgrossen Stichproben Es handelt sich um paarweise t-Tests zwischen allen Gruppen, wobei jedoch immer die gesamte *Varianz* aller Gruppen verwendet wird, nicht nur die Varianz der jeweils beteiligten 2 Gruppen. MQS_Error: Mittlere Fehlerquadratesumme. --> Der selbe Schwellenwert für alle Vergleiche . Signifikanz wird somit erschwert. Der Name "Least significant Difference" bedeutet die mindeste Differenz zweier Mittelwerte, die gerade noch signifikant ist. Diese mindeste Differenz ergibt sich durch das Poolen der Varianzen aller Gruppen. Der LSD Test ist trotz der Erschwerung liberal, d.h. er detektiert zu viele Signifikanzen. Abhilfe: --->Bonferroni
*Tukey HSD* *Test* (honestly significant difference)	Nach ANOVA Paarweise Tests Nur bei gleichgrossen Stichproben Selbe Formel wie Fisher LSD, jedoch ein etwas höherer Schwellenwert. Er wird aus der Studentized Range Verteilung ermittelt und hängt abgesehen von der Anzahl Freiheitsgrade auch von der Anzahl Gruppen ab. --> Der selbe Schwellenwert für alle Vergleiche. Der HSD Test gilt weder als konservativ noch als liberal. Es ist naheliegend, dass man mit den grössten Mittelwertsdifferenzen zu testen beginnt.
*Newman Keuls* *Test*	Nach ANOVA Paarweise Tests Nur bei gleichgrossen Stichproben Man testet wie bei Tukey HSD zuerst die grösste Mittelwertsdifferenz (Formel wie bei Tukey HSD). Im Falle von deren Signifikanz testet man den grössten gegen den zweitkleinsten und den kleinsten gegen den zweitgrössten Mittelwert. Falls diese wieder signifikant sind, testet man den zweitgrössten gegen den drittkleinsten, usw, usw. Dabei kommen als Kritische Werte jedoch nicht die Schwellenwert der t-Verteilung zum Einsatz wie bei Fisher LSD, sondern wie bei Tukey HSD die Schwellenwerte der Studentized Range Verteilung. Diese werden - im Gegensatz zu Tukey - umso niedriger, je weiter man von den extremen Mittelwerten hin zu den "zentraler gelegenen" Mittelwerten kommt, weil man die aussen liegenden Mittelwerte nicht mitzählt. --> Verschiedene Schwellenwerte für alle Vergleiche . Da man solange testet, bis keine Signifikanzen mehr auftreten, kann man von einem sequentiellen Test reden. Newman Keuls ist also liberaler als Tukey's HSD.
*Duncan's* *Test*	Nach ANOVA Paarweise Tests Nur bei gleichgrossen Stichproben Während Scheffe, Tukey und Newman-Keuls die Familien-Fehlerwahrscheinlichkeit kontrollieren, liegt der Fokus von Duncan's Test auf den Einzel-Fehlerwahrscheinlichkeiten. (Siehe Bonferroni, 3.) --> Verschiedene Schwellenwerte für alle Vergleiche .
Nemenyi Test	Nach Friedman Test Siehe Nemenyi Test
*Bonferroni* (= Dunn Procedure)	Nach ANOVA, Kruskal-Wallis Test Paarweise Tests Nur bei gleichgrossen Stichproben
Kontraste (Orthogonale Vergleiche)	Nach ANOVA Komplexer Vergleich von Linearkombinationen Auch bei un-gleichgrossen Stichproben
Scheffe Test allgemein	Nach ANOVA Komplexer Vergleich von Linearkombinationen Auch bei un-gleichgrossen Stichproben Der Scheffe Test vergleicht - ähnlich wie bei Kontrasten - alle möglichen gewichteten Untergruppen von Mittelwerten miteinander. Prüfgrösse: (F_s ist ein mit der Anzahl Freiheitsgrade multiplizierter F-Wert) Bedingung: , mindestens ein c_i ungleich 0, nicht alle c_i ungleich 0. Schwellenwert von F_s zum Risiko a: (k-1) F(k-1,N-k,a) F: F-Verteilung k: Gesamte Anzahl Mittelwerte, N: Gesamte Anzahl Einzelwerte in allen Gruppen, s_innerhalb: Standardabweichung innerhalb der Gruppen. Der Scheffe Test ist sehr rechenaufwendig, da es eine (beliebige) Linearkombination der Mittelwerte zu finden gilt, die signifikant von den anderen Mittelwerten verschieden ist.
Einfacher Scheffe Test	Nach ANOVA Paarweise Tests Auch bei un-gleichgrossen Stichproben Prüfgrösse: (F_s ist ein mit der Anzahl Freiheitsgrade multiplizierter F-Wert) Schwellenwert von F_s zum Risiko a: (k-1) F(k-1,N-k,a) F: F-Verteilung k: Gesamte Anzahl Mittelwerte, N: Gesamte Anzahl Einzelwerte in allen Gruppen, s_innerhalb: Standardabweichung innerhalb der Gruppen.
Tukey-Kramer Test	Nach ANOVA Paarweise Tests Auch bei un-gleichgrossen Stichproben Modifizierter Tukey Test bei un-gleichgrossen Stichproben.
Games-Howell Test	Nach ANOVA Paarweise Tests Test für paarweise Vergleiche, wenn keine Varianzhomogenität gegeben ist.

Bezüglich Konservativ / Liberal gilt:

Konservativ > Scheffe > Tukey > Newman-Keuls > Duncan > Fisher LSD > Liberal

Anmerkungen:

Die Meinungen über die Vorgehensweise "Erst Omnibus Test, dann Einzeltests" gehen in der Fachwelt auseinander.

Einige Statistiker sind z.B. der Ansicht, dass Kontraste, Tukey's HSD und Newman-Keuls inhärent schon Allgemeintestcharakter besitzen und somit unabhängig von "eigentlichen" Omnibus Tests eingesetzt werden können.

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28.08.2005

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