Das Bayessche
Theorem oder der Satz von Bayes behandelt die Berechnung der
Wahrscheinlichkeiten von abhängigen Ereignissen.
Siehe auch
Prävalenz.
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Das Bayes'sche Theorem hat mathematisch folgende Gestalt:
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P(B|A) bedeutet:
Die Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, wenn A bereits eingetreten ist, = [Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse A und B eintreten] / [Wahrscheinlichkeit, dass nur A eintritt] |
Das Entscheidende ist hier, dass P(B) davon abhängt, ob A bereits eingetreten ist oder nicht.
Bayessches Teorem, Beispiele
Beispiel 1:
| P(A) | 0,2 |
| P(B) | 0,3 |
| P(A) * P(B) | 0,3*0,2 = 0,06 (Wenn A und B unabhängig wären) |
| P(A und B) | z.B. 0,08 (also abhängig) |
| P(B|A) | 0,08/0,2 = 0,4 |
Die
Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B, P(B) verändert sich also von
0,3 auf 0,4, wenn A bereits eingetreten ist.
Beispiel 2:
2 Urnen.
Urne 1 enthalte 40 schwarze und 60 weisse Kugeln,
Urne 2 enthalte30 schwarze und 70 weisse Kugeln.
Die Wahrscheinlichkeit, aus Urne 1 zu ziehen, betrage 0,2, aus Urne 2: 0,8
Wie gross ist die
| P(A) "schwarze Kugel" | 0,4*0,2 + 0,3*0,8 = 0,32 |
| P(B) "Urne 1 wählen" | 0,2 |
| P(A und B) "Urne 1 wählen und schwarze Kugel ziehen" | 0,2*0,4 = 0,08 |
| P(B|A) "Urne unbekannt, schwarze gezogene Kugel kommt aus Urne 1" | 0,08/0,32 = 0,25 |
Beispiel 3:
Ein AIDS Test habe folgende Eigenschaften:
Ein tatsächlich Positiver wird mit 99,8 % Sicherheit als positiv erkannt. (Alpha Risiko = 0,1 %)
Ein tatsächlich Negativer wird mit 99,5 % Sicherheit als negativ erkannt. (Beta Risiko = 0,5 %)
Die Prävalenz in der Bevölkerung betrage 0,1 %.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass hinter einem positiven Testergebnis auch tatsächlich ein Positiver steht?
| P(A) "Testergebnis positiv" | 0,998*0,001 + 0,005*0,999 = 0,000998+0,004995 = 0,005993 |
| P(A und B) "Einen tatsächlich Positiven wählen und diesen für positiv befinden" | 0,998*0,001 = 0,000998 |
| P(B|A) "Ein positiv Getesteter ist tatsächlich positiv" | 0,000998/(0,005993)
= 0,1665
-> lediglich 16,65% aller positiv Getesteter sind tatsächlich positiv |
Anstelle des Bayes'schen Theorems kann man auch einen anderen (einfacheren) Weg nehmen, der auf der Vierfeldertafel beruht.
Siehe hierzu ein Beispiel aus der Medizin in dieser Exceldatei.
Für eine Exceldatei zur Berechnung von Vertrauensintervallen unter Binomialverteilung bei bedingten Wahrscheinlichkeiten, siehe hier.
Siehe auch Null-Eins Gesetz von Kolmogoroff.
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